Exercise
Prove the following limit
\lim _ { x \rightarrow \infty } - e^ { x } = - \infty
Proof
Coming soon…
ניקח
m < 0
צריך למצוא
T > 0
כך שלכל x המקיים:
x > T
יתקיים:
f ( x ) < m
לשם כך, נניח שמתקיים:
x > T
ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:
f ( x ) < m
כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, במקרה שלנו רק x.
נעשה זאת כך:
f ( x ) = - e^ { x }
הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.
כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:
- e^ { x } < m
נבודד את x:
e^ { x } > - m
\ln { e^ { x }} > \ln ( {- m } )
x > \ln ( {- m } )
ונגדיר:
T = \ln ( {- m } )
עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. ראשית,
f ( x ) = - e^ { x }
נשתמש בהנחה ונקבל:
- e^ { x } < - e^ { T }
נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:
- e^ { T } = - e^ { \ln ( {- m } ) } = - ( - m ) = m
לסיכום, קיבלנו:
f ( x ) < m
וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:
\lim _ { x \rightarrow \infty } - e^ { x } = - \infty
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.