fbpx
calculus online - Free exercises and solutions to help you succeed!

Limit of Function by Definition – A rational function One-sided limit on a square root on x as x approaches zero – Exercise 228

Exercise

Prove the following limit

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { x^4 } = \infty

Proof

Coming soon…

ניקח

M > 0

צריך למצוא

\delta > 0

כך שלכל x המקיים:

0 < | x - 0 | < \delta

יתקיים:

f ( x ) > M

לשם כך, נניח שמתקיים:

0 < | x - 0 | < \delta

כלומר

0 < | x | < \delta

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

f ( x ) > M

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר

| x |

נעשה זאת כך:

f ( x ) = \frac { 1 } { x^4 } = \frac { 1 } { { | x | }^4 }

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

\frac { 1 } { { | x | }^4 } > M

נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה:

{ | x | }^4 < \frac { 1 } { M }

| x | < ( \frac { 1 } { M } )^ {\frac{1}{4}}

ונגדיר:

\delta = ( \frac { 1 } { M } )^ {\frac{1}{4}}

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

f ( x ) = \frac { 1 } { { | x | }^4 }

נשתמש בהנחה ונקבל:

\frac { 1 } { { | x | }^4 } > \frac { 1 } { {\delta}^4 }

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

\frac { 1 } { {\delta}^4 } = \frac { 1 } { { ( ( \frac { 1 } { M } )^ {\frac{1}{4}}} ) ^4 } = M

לסיכום, קיבלנו:

f ( x ) > M

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { x^4 } = \infty

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

Share with Friends

Leave a Reply