fbpx
calculus online - Free exercises and solutions to help you succeed!

Limit of Function by Definition – A quotient of functions as x approaches a number – Exercise 163

Exercise

Prove the following limit

\lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} = 2

Proof

Coming soon…

ניקח

\varepsilon > 0

צריך למצוא

\delta > 0

כך שלכל x המקיים:

0 < | x - 1 | < \delta

יתקיים:

| f ( x ) - 2 | < \varepsilon

לשם כך, נניח שמתקיים:

0 < | x - 1 | < \delta

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

| f ( x ) - 2 | < \varepsilon

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר

| x - 1 |

נעשה זאת כך:

| f ( x ) - 2 | = | \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} - 2 |

= | \frac { x + 3 - 2 ( 1 + \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |

= | \frac { x + 3 - 2 - 2 \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |

= | \frac { x + 1 -2 \sqrt {x} } { 1 + \sqrt {x} } |

= | \frac { x - 1 + 2 -2 \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |

= | \frac { x - 1 + 2 ( 1 - \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |

= | \frac { x - 1 } { 1 + \sqrt {x} } + 2 \frac { 1 - \sqrt {x } } { 1 + \sqrt {x} }|

= | \frac { x - 1 } { 1 + \sqrt {x} } + 2 \frac { 1 - x } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|

= | \frac { x - 1 } { 1 + \sqrt {x} } - 2 \frac { x - 1 } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|

= | \frac { ( x - 1 ) ( 1 + \sqrt {x} )} { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 } - \frac { 2 ( x - 1 )} { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|

= | \frac { ( x - 1 ) ( 1 + \sqrt {x} - 2 ) } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|

= | \frac { ( x - 1 ) ( \sqrt {x} - 1 ) } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|

= | x - 1 | \cdot | \sqrt {x} - 1 | \cdot \frac{ 1 } { | 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 | }

הגענו לביטוי של  x שמופיע בדיוק כמו בהנחה:

| x - 1 |

אבל נתקענו עם עוד ביטויים של x:

| \sqrt { x } - 1 |

וכן עם:

\frac{ 1 } { | 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 | }

לביטויים אלו ננסה למצוא חסם עליון. לשם כך, נניח שמתקיים:

\delta = 1

זכרו: הדבר היחיד שאנחנו יכולים להשתמש בו הוא ההנחה שלנו.

אז נתחיל מההנחה:

| x - 1 | < \delta

| x - 1 | < 1

-1 < x - 1 < 1

0 < x < 2

1 < 1 + \sqrt {x} < 1 + \sqrt {2}

1 < ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 < ( 1 + \sqrt {2} )^ 2

1 > \frac { 1 } {( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 } > \frac { 1 } {( 1 + \sqrt {2} )^ 2}

צד שמאל אינו חשוב לנו. ובצד ימין קיבלנו את החסם המבוקש לביטוי הראשון:

\frac { 1 } {( 1 + \sqrt {2} )^ 2} < 1

נמצא חסם לביטוי השני:

0 < x < 2

0 \leq | \sqrt { x } - 1 | < 1

שוב, צד שמאל אינו חשוב לנו, ובצד ימין קיבלנו את החסם המבוקש.

שימו לב: לא חייב למצוא את החסם המדויק ביותר.

נמשיך מהנקודה שבה עצרנו, ונשתמש בחסמים שמצאנו:

| f ( x ) - 2 | = | \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} - 2 |

= | x - 1 | \cdot | \sqrt {x} - 1 | \cdot \frac{ 1 } { | 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 | }

< | x - 1 | \cdot 1 \cdot 1 < | x - 1 |

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו רק כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

| x - 1 | < \varepsilon

הביטוי של x כפי שהוא מופיע בהנחה כבר מבודד. לכן, נגדיר

\delta = \varepsilon

אבל כבר הגדרנו

\delta = 1

לכן, ניקח את המינימלי מבין השניים, כלומר נגדיר:

\delta = \min { \{ 1 , \varepsilon \} }

נראה ששתי האפשרויות מוכיחות את הנדרש.

אם מתקיים:

\varepsilon < 1

אז נקבל:

\delta = \varepsilon

וזה מסיים את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

| f ( x ) - 2 | < | x - 1 |

נשתמש בהנחה ונקבל:

| x - 1 | < \delta

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

= \delta = \varepsilon

אפשרות שנייה – אם מתקיים:

1 < \varepsilon

אז נקבל:

\delta = 1

וגם כך מסיימים את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

| f ( x ) - 2 | < | x - 1 |

נשתמש בהנחה ונקבל:

| x - 1 | < \delta

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

\delta = 1 < \varepsilon

לסיכום, בשתי האפשרויות קיבלנו:

| f ( x ) - 2 | < \varepsilon

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} = 2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

Share with Friends

Leave a Reply