Exercise
Prove the following limit
\lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} = 2
Proof
Coming soon…
ניקח
\varepsilon > 0
צריך למצוא
\delta > 0
כך שלכל x המקיים:
0 < | x - 1 | < \delta
יתקיים:
| f ( x ) - 2 | < \varepsilon
לשם כך, נניח שמתקיים:
0 < | x - 1 | < \delta
ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:
| f ( x ) - 2 | < \varepsilon
כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר
| x - 1 |
נעשה זאת כך:
| f ( x ) - 2 | = | \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} - 2 |
= | \frac { x + 3 - 2 ( 1 + \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |
= | \frac { x + 3 - 2 - 2 \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |
= | \frac { x + 1 -2 \sqrt {x} } { 1 + \sqrt {x} } |
= | \frac { x - 1 + 2 -2 \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |
= | \frac { x - 1 + 2 ( 1 - \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |
= | \frac { x - 1 } { 1 + \sqrt {x} } + 2 \frac { 1 - \sqrt {x } } { 1 + \sqrt {x} }|
= | \frac { x - 1 } { 1 + \sqrt {x} } + 2 \frac { 1 - x } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|
= | \frac { x - 1 } { 1 + \sqrt {x} } - 2 \frac { x - 1 } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|
= | \frac { ( x - 1 ) ( 1 + \sqrt {x} )} { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 } - \frac { 2 ( x - 1 )} { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|
= | \frac { ( x - 1 ) ( 1 + \sqrt {x} - 2 ) } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|
= | \frac { ( x - 1 ) ( \sqrt {x} - 1 ) } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|
= | x - 1 | \cdot | \sqrt {x} - 1 | \cdot \frac{ 1 } { | 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 | }
הגענו לביטוי של x שמופיע בדיוק כמו בהנחה:
| x - 1 |
אבל נתקענו עם עוד ביטויים של x:
| \sqrt { x } - 1 |
וכן עם:
\frac{ 1 } { | 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 | }
לביטויים אלו ננסה למצוא חסם עליון. לשם כך, נניח שמתקיים:
\delta = 1
זכרו: הדבר היחיד שאנחנו יכולים להשתמש בו הוא ההנחה שלנו.
אז נתחיל מההנחה:
| x - 1 | < \delta
| x - 1 | < 1
-1 < x - 1 < 1
0 < x < 2
1 < 1 + \sqrt {x} < 1 + \sqrt {2}
1 < ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 < ( 1 + \sqrt {2} )^ 2
1 > \frac { 1 } {( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 } > \frac { 1 } {( 1 + \sqrt {2} )^ 2}
צד שמאל אינו חשוב לנו. ובצד ימין קיבלנו את החסם המבוקש לביטוי הראשון:
\frac { 1 } {( 1 + \sqrt {2} )^ 2} < 1
נמצא חסם לביטוי השני:
0 < x < 2
0 \leq | \sqrt { x } - 1 | < 1
שוב, צד שמאל אינו חשוב לנו, ובצד ימין קיבלנו את החסם המבוקש.
שימו לב: לא חייב למצוא את החסם המדויק ביותר.
נמשיך מהנקודה שבה עצרנו, ונשתמש בחסמים שמצאנו:
| f ( x ) - 2 | = | \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} - 2 |
= | x - 1 | \cdot | \sqrt {x} - 1 | \cdot \frac{ 1 } { | 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 | }
< | x - 1 | \cdot 1 \cdot 1 < | x - 1 |
הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו רק כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.
כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:
| x - 1 | < \varepsilon
הביטוי של x כפי שהוא מופיע בהנחה כבר מבודד. לכן, נגדיר
\delta = \varepsilon
אבל כבר הגדרנו
\delta = 1
לכן, ניקח את המינימלי מבין השניים, כלומר נגדיר:
\delta = \min { \{ 1 , \varepsilon \} }
נראה ששתי האפשרויות מוכיחות את הנדרש.
אם מתקיים:
\varepsilon < 1
אז נקבל:
\delta = \varepsilon
וזה מסיים את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,
| f ( x ) - 2 | < | x - 1 |
נשתמש בהנחה ונקבל:
| x - 1 | < \delta
נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:
= \delta = \varepsilon
אפשרות שנייה – אם מתקיים:
1 < \varepsilon
אז נקבל:
\delta = 1
וגם כך מסיימים את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,
| f ( x ) - 2 | < | x - 1 |
נשתמש בהנחה ונקבל:
| x - 1 | < \delta
נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:
\delta = 1 < \varepsilon
לסיכום, בשתי האפשרויות קיבלנו:
| f ( x ) - 2 | < \varepsilon
וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:
\lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} = 2
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.