Exercise
Prove the following limit
\lim _ { x \rightarrow 2^{ + } } \frac { 1 } { x - 2 } = \infty
Proof
Coming soon…
ניקח
M > 0
צריך למצוא
\delta > 0
כך שלכל x המקיים:
0 < | x - 2^{+} | < \delta
יתקיים:
f ( x ) > M
לשם כך, נניח שמתקיים:
0 < | x - 2^{+} | < \delta
ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:
f ( x ) > M
כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר
| x - 2 |
נעשה זאת כך:
f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 }
מכיוון שאנו מחשבים גבול מימין, הביטוי חיובי ולכן מתקיים:
f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } = \frac { 1 } { | x - 2 | }
הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.
כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:
\frac { 1 } { | x - 2 | } > M
נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה:
| x - 2 | < \frac { 1 } { M }
ונגדיר:
\delta = \frac { 1 } { M }
עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,
f ( x ) = \frac { 1 } { | x - 2 | }
נשתמש בהנחה ונקבל:
= \frac { 1 } { | x - 2 | } > \frac { 1 } { \delta }
נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:
= \frac { 1 } { \delta } = \frac { 1 } { \frac { 1 } { M }} = M
לסיכום, קיבלנו:
f ( x ) > M
וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:
\lim _ { x \rightarrow 2^{ + } } \frac { 1 } { x - 2 } = \infty
פתרון מפורט בוידאו
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.