fbpx
calculus online - Free exercises and solutions to help you succeed!

Infinite Series – A convergence test to a quotient of polynomials – Exercise 2741

Exercise

Determine if the following series convergent or divergent

\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 6}+\frac{1}{4\cdot 7}+...

Final Answer


The series converges

Solution

Coming soon…

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש את המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש שני רצפים. האחד, מספרים עוקבים המתחילים מ-2. השני, מספרים עוקבים המתחילים מ-5. הנוסחה למספרים עוקבים היא פשוט n. כדי לבחור את ההתחלה פשוט מוסיפים קבוע ל-n. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{1}{n(n+3)}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=2}^{\infty} a_n=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}

שימו לב שהטור שלנו מתחיל מ-2. יכולנו להתחיל מ-1, אבל אז צריך לשנות את המכנה של האיבר הכללי בהתאם.

כאשר יש מנה של פולינומים (אפילו עם חזקות מקבוצת המספרים הממשיים ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.

לשם כך, נגדיר טור בעל חזקה מובילה הזהה לטור המקורי. בExercise שלנו, נגדיר את הטור:

b_n=\frac{1}{n^2}

ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=

נציב את הטורים:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n(n+3)}}{\frac{1}{n^2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n^2+3n}}{\frac{1}{n^2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^2}{n^2+3n}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{n^2+3n}{n^2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{3}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{1+0}=1

מכיוון שמתקיים:

0<1<\infty

ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. נראה שהטור שהגדרנו

b_n=\frac{1}{n^2}

מתכנס. ראשית, איבריו חיוביים לכל n. שנית, לכל n מתקיים:

n^2<{(n+1)}^2

מכאן, מתקיים:

\frac{1}{n^2}>\frac{1}{{(n+1)}^2}

כלומר, קיבלנו שמתקיים:

b_n>b_{n+1}

זה אומר שהסדרה מונוטונית יורדת. שני התנאים של מבחן האינטגרל מתקיימים, לכן נוכל להשתמש במבחן זה.

לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=b_n

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{1}{x^2}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}dx

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_1^{t} \frac{1}{x^2}dx=

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_1^{t} x^{-2}dx=

קיבלנו אינטגרל מיידי. נשתמש בנוסחת אינטגרל המתאימה ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{x^{(-1)}}{-1}]_{1}^{t}=

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{-1}{x}]_{1}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\lim_{t\rightarrow \infty}(\frac{-1}{t}-\frac{-1}{1})=

נציב אינסוף ונקבל:

=0-(-1)=1<\infty

קיבלנו תוצאה סופית, ולכן האינטגרל מתכנס. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתכנס.

טיפ: בעזרת מבחן האינטגרל כמו לעיל, אפשר להוכיח התכנסות של כל טור מהצורה

c_n=\frac{1}{n^p}

כאשר p מקיים

p>1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

[\hide]

Share with Friends

Leave a Reply