Exercise
Determine if the following series convergent or divergent
\frac{1+2}{1+2^2}+\frac{1+3}{1+3^2}+\frac{1+4}{1+4^2}+...
Final Answer
Solution
Coming soon…
נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים המתחיל מ-2, ובמכנה של כל השברים יש רצף של מספרים עוקבים בריבוע המתחילים מ-2 גם כן. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא
a_n=\frac{1+n}{1+n^2}
והטור שלנו הוא
\sum_{n=2}^{\infty} a_n=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1+n}{1+n^2}
שימו לב שהטור שלנו לא מתחיל מ-1, אלא מ-2.
נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים:
\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1+n}{1+n^2}=
נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1+n}{n^2}}{\frac{1+n^2}{n^2}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+1}=
נציב אינסוף ונקבל:
=\frac{0+0}{0+1}=\frac{0}{1}=0
מכיוון שהגבול שווה לאפס, צריך להמשיך ולנסות מבחן התכנסות אחר. שימו לב שזה אינו אומר שהטור מתכנס.
כאשר יש מנה של פונקציות בצורת פולינומים (אפילו עם חזקות ממשיות ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.
לשם כך, נגדיר טור בעל חזקה מובילה הזהה לטור המקורי. בExercise שלנו, החזקה המובילה במונה היא 1 ובמכנה – 2. יחד מקבלים חזקה 1 במכנה. לכן, נגדיר את הטור:
b_n=\frac{1}{n}
ונחשב את הגבול:
\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=
נציב את הטורים:
\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1+n}{1+n^2}}{\frac{1}{n}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n(1+n)}{1+n^2}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+n^2}{1+n^2}=
נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n+n^2}{n^2}}{\frac{1+n^2}{n^2}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}+1}{\frac{1}{n^2}+1}=
נציב אינסוף ונקבל:
=\frac{0+1}{0+1}=1
מכיוון שמתקיים:
0<1<\infty
ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. הטור שהגדרנו
b_n=\frac{1}{n}
הוא טור הרמוני מתבדר. לכן, גם הטור שלנו
\sum_{n=2}^{\infty}a_n
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.
[\hide]