Exercise
Does the following series
∑ n = 4 ∞ ( 3 n n + 1 − 3 n + 3 n + 2 ) \sum_{n=4}^{\infty} (\frac{3n}{n+1}-\frac{3n+3}{n+2}) n = 4 ∑ ∞ ( n + 1 3 n − n + 2 3 n + 3 )
Converge? If so, compute its sum.
Final Answer
Show final answer
Solution
Coming soon…
נוציא קבוע מהטור. מתכונות של טורים
3 ∑ n = 4 ∞ ( n n + 1 − n + 1 n + 2 ) 3\sum_{n=4}^{\infty} (\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}) 3 n = 4 ∑ ∞ ( n + 1 n − n + 2 n + 1 )
נפתור לפי הגדרה הסכום החלקי
S n = 3 ∑ k = 4 n k k + 1 − k + 1 k + 2 = S_n=3\sum_{k=4}^{n}\frac{k}{k+1}-\frac{k+1}{k+2}= S n = 3 k = 4 ∑ n k + 1 k − k + 2 k + 1 =
= 3 [ ( 4 5 − 5 6 ) + ( 5 6 − 6 7 ) + . . . + ( n n + 1 − n + 1 n + 2 ) ] = =3[(\frac{4}{5}-\frac{5}{6})+(\frac{5}{6}-\frac{6}{7})+...+(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2})]= = 3 [ ( 5 4 − 6 5 ) + ( 6 5 − 7 6 ) + . . . + ( n + 1 n − n + 2 n + 1 ) ] =
= 3 [ 4 5 − n + 1 n + 2 ] =3[\frac{4}{5}-\frac{n+1}{n+2}] = 3 [ 5 4 − n + 2 n + 1 ]
נציב את הסכום החלקי
lim n → ∞ S n = \lim_{n\rightarrow \infty} S_n= n → ∞ lim S n =
lim n → ∞ 3 [ 4 5 − n + 1 n + 2 ] = \lim_{n\rightarrow \infty} 3[\frac{4}{5}-\frac{n+1}{n+2}]= n → ∞ lim 3 [ 5 4 − n + 2 n + 1 ] =
נחלק מונה ומכנה ב-n (החזקה הגבוהה ביותר בשבר) ונקבל:
lim n → ∞ 3 ( 4 5 − n + 1 n n + 2 n ) = \lim_{n\rightarrow \infty} 3(\frac{4}{5}-\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+2}{n}})= n → ∞ lim 3 ( 5 4 − n n + 2 n n + 1 ) =
= 3 lim n → ∞ ( 4 5 − 1 + 1 n 1 + 2 n ) = =3\lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{4}{5}-\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}})= = 3 n → ∞ lim ( 5 4 − 1 + n 2 1 + n 1 ) =
נציב אינסוף ונקבל:
= 3 ⋅ ( 4 5 − 1 + 0 1 + 0 ) = =3\cdot(\frac{4}{5}-\frac{1+0}{1+0})= = 3 ⋅ ( 5 4 − 1 + 0 1 + 0 ) =
= 3 ⋅ ( 4 5 − 1 ) = =3\cdot(\frac{4}{5}-1)= = 3 ⋅ ( 5 4 − 1 ) =
= 3 ⋅ ( − 1 5 ) = − 3 5 =3\cdot(-\frac{1}{5})=-\frac{3}{5} = 3 ⋅ ( − 5 1 ) = − 5 3
וזה סכום הטור
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.
[\hide]
