fbpx
calculus online - Free exercises and solutions to help you succeed!

Infinite Series – A series sum by definition – Exercise 2607

Exercise

Does the following series

\sum_{n=4}^{\infty} (\frac{3n}{n+1}-\frac{3n+3}{n+2})

Converge? If so, compute its sum.

Final Answer


-\frac{3}{5}

Solution

Coming soon…

נוציא קבוע מהטור. מתכונות של טורים אנו יודעים שזה לא משפיע על התכנסות או התבדרות הטור. נקבל:

3\sum_{n=4}^{\infty} (\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2})

נפתור לפי הגדרה. הסכום החלקי של הטור הוא

S_n=3\sum_{k=4}^{n}\frac{k}{k+1}-\frac{k+1}{k+2}=

=3[(\frac{4}{5}-\frac{5}{6})+(\frac{5}{6}-\frac{6}{7})+...+(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2})]=

=3[\frac{4}{5}-\frac{n+1}{n+2}]

נציב את הסכום החלקי שקיבלנו בגבול ונקבל:

\lim_{n\rightarrow \infty} S_n=

\lim_{n\rightarrow \infty} 3[\frac{4}{5}-\frac{n+1}{n+2}]=

נחלק מונה ומכנה ב-n (החזקה הגבוהה ביותר בשבר) ונקבל:

\lim_{n\rightarrow \infty} 3(\frac{4}{5}-\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+2}{n}})=

=3\lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{4}{5}-\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}})=

נציב אינסוף ונקבל:

=3\cdot(\frac{4}{5}-\frac{1+0}{1+0})=

=3\cdot(\frac{4}{5}-1)=

=3\cdot(-\frac{1}{5})=-\frac{3}{5}

וזה סכום הטור.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

[\hide]

Share with Friends

Leave a Reply