fbpx
calculus online - Free exercises and solutions to help you succeed!

Calculating Mass Using Triple Integrals – Fixed integration limits – Exercise 4591

Exercise

Calculate the mass of T where T is bounded by the surfaces

x=0,x=2,y=0,y=3,z=0,z=1

Given the density function

f(x,y,z)=x+y+z

Final Answer


m=18

Solution

Coming soon…

נמצא את המסה בעזרת אינטגרל משולש:

m=\int\int\int_T (x+y+z) dxdydz

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\int_0^2 dx\int_0^3dy\int_0^1 (x+y+z)dz=

נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי z ונקבל:

=\int_0^2 dx\int_0^3 [xz+yz+\frac{z^2}{2}]_0^1 dy=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום z:

=\int_0^2 dx\int_0^3 [x\cdot 1+y\cdot 1+\frac{1^2}{2}-(x\cdot 0+y\cdot 0+\frac{0^2}{2})] dy=

=\int_0^2 dx\int_0^3 (x+y+\frac{1}{2}) dy=

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי y, ונקבל:

=\int_0^2 [xy+\frac{y^2}{2}+\frac{1}{2}y]_0^3 dx=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=\int_0^2 [x\cdot 3+\frac{3^2}{2}+\frac{1}{2}\cdot 3-(x\cdot 0+\frac{0^2}{2}+\frac{1}{2}\cdot 0)] dx=

=\int_0^2 (3x+\frac{9}{2}+\frac{3}{2})dx=

=\int_0^2 (3x+6)dx=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – x. נפתור אותו:

=[3\frac{x^2}{2}+6x]_0^2=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=3\frac{2^2}{2}+6\cdot 2-(3\frac{0^2}{2}+6\cdot 0)=

=6+12=

=18

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

[\hide]

Share with Friends

Leave a Reply