fbpx
calculus online - Free exercises and solutions to help you succeed!

Infinite Series – A convergence test to a quotient of polynomials – Exercise 2719

Exercise

Determine if the following series convergent or divergent

\frac{1}{1001}+\frac{1}{2001}+\frac{1}{3001}+...

Final Answer


The series diverges

Solution

Coming soon…

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש את המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש מספרים בהפרש של 1000. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{1}{1000n+1}

והטור שלנו הוא

\sum_1^{\infty} a_n=\sum_1^{\infty} \frac{1}{1000n+1}

כאשר יש מנה של פונקציות מצורת פולינום, אבל עם מספרים בחזקה (גם ממשיים, ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.

נגדיר טור בעל חזקה מובילה זהה לטור המקורי. בExercise שלנו, נגדיר את הטור:

b_n=\frac{1}{n}

ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=

נציב את הטורים:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{1000n+1}}{\frac{1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{1000n+1}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{1000n+1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{1000+\frac{1}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{1000+0}=\frac{1}{1000}

מכיוון שמתקיים:

0<\frac{1}{1000}<\infty

ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. הטור שהגדרנו 

b_n=\frac{1}{n}

הוא טור הרמוני מתבדר. לכן, גם הטור שלנו

a_n=\frac{1}{1000n+1}

מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

[\hide]

Share with Friends

Leave a Reply