fbpx
calculus online - Free exercises and solutions to help you succeed!

Calculating Limit of Series – A quotient of polynomials to the power of n – Exercise 689

Exercise

Given

a_n = {(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n

Find the limit

\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n

Final Answer


\lim _ { n \rightarrow \infty} a_n=0

Solution

Coming soon…

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty}{(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בכלל השורש (הראשון). לשם כך, נוסיף שורש n-י על כל הביטוי ונבדוק מה קורה באינסוף.

\lim _ { n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{{(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2}=

קיבלנו מנה של פולינומים. אם ננסה להציב שוב עכשיו, נקבל עדיין ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. לכן, נחלק את מונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר. בExercise שלנו, נחלק באיבר:

n^3

ונקבל:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n^2} +3}{7 + \frac{2}{n^3}}

מכיוון שמתקיים:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5}{n^2}=0

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2}{n^3}=0

נציב שוב ונקבל:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n^2} +3}{7 + \frac{2}{n^3}}=\frac{3}{7}<1

לכן, לפי כלל השורש, מקבלים:

\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n = 0

הסבר: שימו לב שבכלל השורש הראשון אנו מוסיפים שורש n-י על כל הביטוי ומתוצאת הגבול הזה אנו מסיקים את תוצאת הגבול של הביטוי המקורי.

טיפ: כלל השורש הראשון טוב בביטויים בעלי חזקה n-ית, כי אז השורש שנוסיף יבטל את החזקה, ונקבל גבול קל יותר לחישוב.

Have a question? Found a mistake? – Write a comment below!
Was it helpful? You can buy me a cup of coffee here, which will make me very happy and will help me upload more solutions! 

[\hide]

Share with Friends

Leave a Reply