Exercise
Given
a_n = \frac{2 n + 1}{1 - 3 n}
Prove the following limit
\lim _ {n \rightarrow \infty} a_n = -\frac{2}{3}
Proof
Coming soon…
ניקח
\varepsilon > 0
נמצא N כל שלכל
n \geq N
יתקיים:
|a_n + \frac {2}{3} | < \varepsilon
כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו n מופיע פעם אחת. נעשה זאת כך:
|a_n + \frac {2}{3} | =
= |\frac{2 n + 1}{1 - 3 n} + \frac {2}{3} | =
|\frac{6 n + 3 +2 - 6 n}{3 - 9 n} | =
|\frac{5}{3 - 9 n} | =
נשים לב שהמונה חיובי, ואילו המכנה שלילי, כי n שואף לאינסוף, כלומר:
3 - 9 n < 0
לכן, נסיר את הערך המוחלט כך:
=\frac{5}{ 9 n - 3} =
אפשר לסיים כעת, כי קיבלנו מופע אחד של n, אבל נקבל ביטוי מסובך יותר של N. לכן, נמשיך לפתח את הביטוי כדי להגיע למשהו יותר פשוט.
=\frac{5}{ 6 n + 3 n - 3} =
=\frac{5}{ 6 n + 3 ( n - 1 )} =
\leq \frac{5}{ 6 n } < \frac {1}{n}
הגענו לביטוי שבו n מופיע רק פעם אחת וסיימנו.
כעת, בחישוב בצד נמצא את ה-N שיסיים את ההוכחה. לשם כך, נניח שמתקיים:
\frac { 1 } { n} < \varepsilon
נבודד את n ונקבל:
n > \frac {1}{\varepsilon}
לכן, נבחר N גדול מהביטוי שקיבלנו באגף השני, כלומר ניקח:
N > \frac {1}{\varepsilon}
ואז לכל
n \geq N
נקבל שמתקיים:
|a_n + \frac {2}{3} | < \frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\varepsilon
הערה: N הוא מספר חיובי שלם (גדול מאוד), ולכן יש שמגדירים את N להיות החלק השלם הגדול של הביטוי:
\frac {1}{\varepsilon}
כך:
N = \lceil \frac {1}{\varepsilon} \rceil
בהגדרה כזו ההוכחה תסתיים כך:
|a_n + \frac {2}{3} | < \frac{1}{n}<\frac{1}{N}=\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.