Exercise
Does the following series
\sum_{n=4}^{\infty} (\frac{3n}{n+1}-\frac{3n+3}{n+2})
Converge? If so, compute its sum.
Final Answer
Solution
Coming soon…
נוציא קבוע מהטור. מתכונות של טורים אנו יודעים שזה לא משפיע על התכנסות או התבדרות הטור. נקבל:
3\sum_{n=4}^{\infty} (\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2})
נפתור לפי הגדרה. הסכום החלקי של הטור הוא
S_n=3\sum_{k=4}^{n}\frac{k}{k+1}-\frac{k+1}{k+2}=
=3[(\frac{4}{5}-\frac{5}{6})+(\frac{5}{6}-\frac{6}{7})+...+(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2})]=
=3[\frac{4}{5}-\frac{n+1}{n+2}]
נציב את הסכום החלקי שקיבלנו בגבול ונקבל:
\lim_{n\rightarrow \infty} S_n=
\lim_{n\rightarrow \infty} 3[\frac{4}{5}-\frac{n+1}{n+2}]=
נחלק מונה ומכנה ב-n (החזקה הגבוהה ביותר בשבר) ונקבל:
\lim_{n\rightarrow \infty} 3(\frac{4}{5}-\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+2}{n}})=
=3\lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{4}{5}-\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}})=
נציב אינסוף ונקבל:
=3\cdot(\frac{4}{5}-\frac{1+0}{1+0})=
=3\cdot(\frac{4}{5}-1)=
=3\cdot(-\frac{1}{5})=-\frac{3}{5}
וזה סכום הטור.
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.
[\hide]